9 клас Алгебра
Тема: « Арифметична і геометрична прогресії»
Мета: повторити, систематизувати і узагальнити фактичні знання учнів з теми, тобто переосмислити поняття прогресій, їх властивостей, пригадати формули n – го члена та суми n перших членів, встановити логічні зв’язки обох підтем; удосконалювати навички та вміння розв’язувати вправи із використанням формул та властивостей прогресій; розвивати навички спів навчання та взаємонавчання, підтримувати інтерес до вивчення математики.
Тип уроку: урок узагальнення і систематизації знань.
Хід уроку.
Записи на дошці: Арифметична та геометрична прогресії.
Прогресія ( лат.) – рух уперед…
І. Організація і налаштування учнів на роботу.
Учитель: Математика, шановні, - це складна наука, якщо хочеш вийти в світ і утвердитися в ньому, тож вперед – до роботи.
Ми вивчили одну з найцікавіших тем. Послідовність – явище, без перебільшення, унікальне. Історія виникнення послідовностей сягає глибини віків, вже в клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих ІІ тисячоліттям до н.е. , зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії.
Підбиваючи підсумок знань про прогресії, на уроці ми повинні повторити основні поняття, властивості та формули з теми, провести паралель між арифметичною та геометричною прогресіями.
Урок ми проводимо у формі ділової гри, що має назву «Компетентність». Що ж це означає?
Компетенція – це готовність застосовувати знання, вміння та навички для фахового розв’язання проблеми. Отже, це готовність учня використовувати набуті знання, навчальні вміння та навички, а також способи діяльності в житті для виконання практичних та теоретичних завдань. Компетентний (лат.- належний, відповідний) – це той, хто володіє необхідною інформацією і вміє застосовувати набуті знання і досвід.
Отже, настільки ви компетентні в числових послідовностях і їх властивостях, покаже сьогоднішній урок.
Клас розподілено на дві команди зі своїми капітанами та групою «експертів», які допоможуть фіксувати мені ваші успіхи. У кінці уроку підбиваємо підсумок.
Ще 2400 років тому китайський педагог Конфуцій сказав:
«Те, що я чую, я забуваю.
Те, що я бачу і чую, я трохи пам’ятаю.
Те, що я чую, бачу, обговорюю, я починаю розуміти.
Коли я чую, бачу, обговорюю й роблю, я набуваю знань і навичок».
Тож закликаю вас до співпраці.
І етап. Знавці теорії.
Почнемо з теоретичного матеріалу і звернемося до таблиці. Пропоную кожному члену команди доповнити її зміст. (заповнює кожен індивідуально, а потім результат перевіряє сусід групи, що сидить зліва, порівнюючи запис з слайдом. Максимальна кількість балів - 9)
Арифметична прогресія | Геометрична прогресія |
І. Означення | |
Числова послідовність, кожний член якої, починаючи від другого, дорівнює попередньому члену, | |
до якого додають одне й те саме число. | помноженому на одне й те саме число. |
ІІ. Формула n – го члена прогресії | |
|
|
ІІІ. Формула суми n перших членів прогресії. | |
|
|
ІV. Характеристичні властивості прогресії. | |
|
|
Арифметична прогресія | Геометрична прогресія |
І. Означення | |
Числова послідовність, кожний член якої, починаючи від другого, дорівнює попередньому члену, | |
до якого додають одне й те саме число. | помноженому на одне й те саме число. |
ІІ. Формула n – го члена прогресії | |
|
|
ІІІ. Формула суми n перших членів прогресії. | |
|
|
ІV. Характеристичні властивості прогресії. | |
|
|
Діти підрахуйте кількість правильних відповідей. Загальну підраховують капітан і експерти.
ІІ етап «Розминка»
Вам пропонують різні послідовності. (Кожна послідовність зображена на аркуші форматом А4 і слайді). Ваше завдання – правильно визначити тип послідовності. Якщо це арифметична прогресія – ставте А, якщо геометрична – Г, а якщо послідовність є арифметичною і геометричною – АГ; якщо ж послідовність не є ні арифметичною, ні геометричною прогресіями, то Х.
Завдання розбито на дві частини :
а) індивідуальна робота.
1) 1; 2; 3; 4; 5; … (А)
2) 1; 0,1; 0,01; 0,001; … (Г)
3) 3; 9; 81; 6561; … (Х)
4) 
(Г)
5) 7;7;7;7;7;7;7; … (АГ)
6) -3,5; -2,9; -2,3; -1,7; … (А)
7) 2; 22; 23 ;24; 25; … (Г)
8) 2; 3; 5; 7; 11; 13; … (Х)
9) 2; 4; 6; 8; 10; … (А)
б) Колективна (захист – один учень з групи)
Із запропонованих послідовностей впишіть в першу групу арифметичну прогресію, а в другу геометричну прогресію, назвіть 
або 
1) 2; 4; 7; 12.
2) 0; 1; 2; 3; …; 9.
3) 1; 5; 9; 13; …
4) -5; 10; -20; 40; …
5) 2; 4; 8; 16; …
Зробити записи в таблиці
І група (арифметична прогресія) | ІІ група (геометрична прогресія) |
2) 3) | 4) 5) |
Завдання команді І : Завдання команді ІІ :
2) див. Додаток 1. 2) див. Додаток 2.
3) див. Додаток 3. 3) див. Додаток 4.
ІІІ етап. З історії математики.
Прослухайте підготовлену учнями історію, пов’язану з прогресіями. (інсценізація)
Учениця. Поговоримо про шахи. Не дивуйтесь цьому.
Шахи — одна з найдавніших ігор. Вона існує багато віків, і не дивно, що з нею пов'язані різні перекази, правдивість яких через давність часу неможливо перевірити.
З однією з таких легенд ми сьогодні й ознайомимося. Щоб зрозуміти її, зовсім не треба вміти грати у шахи: досить знати, що гра відбувається на дошці, поділеній на 64 клітинки (чорні і білі).
Шахову гру було придумано в Індії, і коли індуський цар Шерам ознайомився з нею, він був у захопленні.
Довідавшись, що її винайшов один з його підданих, цар наказав покликати його, щоб особисто нагородити за вдалу видумку.
Винахідник, його звали Сета, з'явився перед троном повелителя. Це був скромно одягнений учений, який заробляв на життя, навчаючи інших.
(Далі легенда переказується у вигляді сценки, підготовленої учнями класу)
Діючі особи: цар Шерам, винахідник Сета, слуги, старшина придворних математиків.)
Цар Шерам. Я бажаю гідно нагородити тебе, Сето, за чудову гру, яку ти придумав.
(Мудрець вклонився.)
Цар. Я досить багатий, щоб виконати найсміливіше твоє бажання. Назви нагороду, яка тебе задовольнить, і ти одержиш її.
(Сета мовчить.)
Цар. Не бійся, вислови своє бажання. Я не пошкодую нічого, щоб виконати його.
Сета. Велика добрість твоя, повелителю. Але дай строк обміркувати відповідь. Завтра я повідомлю тобі моє прохання.
Учениця. На другий день Сета знову з'явився в палаці.
Сета. Повелителю! Накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину.
Цар (здивовано). Просте пшеничне зерно?
Сета. Так, повелителю. За другу клітинку накажи видати дві зернини, за третю — чотири, за четверту — вісім, за п'яту — шістнадцять...
Цар (роздратовано перебиває Сету). Досить. Ти одержиш свої зерна за всі 64 клітинки дошки, як бажаєш: за кожну вдвоє більше від попередньої. Але знай, що прохання твоє недостойне моєї щедрості. Просячи таку мізерну нагороду, ти нехтуєш моєю милістю. Воістину, як учитель ти міг би показати кращий приклад поваги до милості й щедрості свого повелителя. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок з пшеницею.
(Сета посміхнувся і покинув замок.)
Учениця. Після обіду цар згадав про винахідника шахів і надіслав слугу дізнатися, чи виніс нерозсудливий Сета свою мізерну нагороду.
Цар. Чи отримав Сета свій мішок з зерном?
Слуга. Повелителю! Наказ твій виконується. Придворні математики підраховують кількість належних зерен.
(Слуга виходить.)
Учениця. Цар нахмурився, він не звик, щоб його повеління виконувалися так повільно. Увечері, ідучи спати, цар ще раз звернувся до придворних.
Цар. Чи давно Сета зі своїм мішком пшениці покинув палац?
Слуга. Повелителю! Математики твої невтомно працюють і сподіваються ще до світанку закінчити підрахунок.
Цар. Чому зволікають з цією справою? Завтра, до того, коли я прокинуся, все до останньої зернини повинно бути видано Сеті. Я двічі не наказую!
Учениця. Уранці цареві доповіли, що старшина придворних математиків просить вислухати важливе донесення. Цар наказав йому зайти.
Цар. Перед тим, як ти казатимеш про інші справи, я бажаю почути, чи видано, нарешті, Сеті ту мізерну нагороду, яку він собі сам призначив.
Старшина придворних математиків. Заради цього я і насмілився з'явитися до тебе у таку ранню годину. Ми сумлінно полічили кількість зерен, яку бажає одержати Сета. Число це таке велике...
Цар (гордовито перебиває). Яке велике воно не було б, житниці мої не збідніють. Нагороду обіцяно і її треба видати...
Старшина придворних математиків. Ти не можеш, повелителю, виконати таке бажання. У всіх коморах твоїх немає такої кількості зерен, яку зажадав Сета. Немає його і в житницях цілого царства. Не знайдеться стільки зерна і на всьому просторі Землі. І якщо бажаєш неодмінно видати обіцяну нагороду, то накажи перетворити всі земні царства на поля, накажи осушити моря й океани, накажи розтопити лід і сніги, що вкривають далекі північні пустелі. Нехай увесь земний простір буде засіяно пшеницею. І все те, що виросте на цих полях, накажи віддати Сеті. Тоді він одержить свою нагороду.
Цар (після паузи роздумливо). Назви ж мені це дивовижне число...
Старшина придворних математиків. 18 квінтильйонів 446 квадрильйонів 844 трильйони 73 більйони 709 мільйонів 551 тисяча 615, о повелителю!
Учениця. Така легенда. Чи справді було те, про що тут розповідалося, невідомо, але нагорода, про яку йшлося, мала бути саме такою.
Маса такої кількості зерен більша за масу пшениці, зібраної людством до теперішнього часу.
Індуський цар не міг видати таку нагороду, але якби він знав математику, то легко міг би звільнитися від такого обтяжливого боргу. Для цього потрібно було лише запропонувати Сеті самому відлічити собі зернину за зерниною всю належну йому пшеницю.
ІV етап. Всяка теорія цінна для практики.
Переходимо до розв’язування задач із другої частини збірника ДПА, попередньо систематизувавши їх за типами. В класі розв’язуємо з поясненням по одній задачі кожного типу, додому - аналогічні завдання.
Пам’ятайте: якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо заходьте в воду, а якщо хочете навчитися розв’язувати задачі, то розв’язуйте їх.
Д. Пойа
Застосування формула n – го члена арифметичної прогресії
1. Знаходження n – го члена прогресії за її першим членом та різницею.
Варіант: 13.
2. Знаходження номера члена арифметичної прогресії за відомими двома членами.
Варіант: 5, 8, 36, 37, 75, 84, 100.
3. знаходження кількості додатних (від’ємних) членів арифметичної прогресії.
Варіант: 2, 30, 31, 35, 40, 41, 45, 65, 81.
Застосування формули суми n перших членів арифметичної прогресії
1. Знаходження суми n перших членів арифметичної прогресії за її першим членом і різницею.
Варіант: 26, 34, 88.
2. Знаходження суми n перших членів арифметичної прогресії за відомими двома членами.
Варіант: 19, 29, 46, 48. 52. 58. 64, 82.
3.Знаходження першого члена арифметичної прогресії за сумою n перших членів та різницею прогресії.
Варіант: 25, 27.
4. Знаходження різниці арифметичної прогресії за її першим членом та сумою n перших членів.
Варіант: 44, 51.
5. Знаходження кількості членів прогресії за сумою n перших членів.
Варіант: 50, 91.
Застосування формули суми n перших членів геометричної прогресії
1. Знаходження суми n перших членів прогресії за першим членом та різницею.
Варіант: 10, 16, 24, 39, 93.
2. Знаходження суми n перших членів прогресії за двома її членами.
Варіант: 4, 17, 23, 38, 83, 96.
Сума нескінченної геометричної прогресії
Варіант: 15, 20, 27, 33, 55, 62, 71, 73, 76, 86, 92, 98.
Примітка. В класі розв'язуємо з поясненням по одній задачі кожного типу, додому — аналогічні завдання
Підсумок уроку.
Прогресія застосовується не тільки в математиці. За законом геометричної прогресії здійснюється поділ нейтронів під час ядерної ланцюгової реакції. Відрізки шляху за рівноприскореного руху утворюють арифметичну прогресію, за законом геометричної прогресії зростає розмір вкладу в ощадбанку.
Домашнє завдання.
Повторити п.п. 60 – 63.
Розв'язати (Збірник ДПА):
Варіант 84,45, 64, 51, 91, (Частина 2)
Варіант 40 (21), 49 (21). (Частина 3)
Творче завдання:№ 241, № 262.
Підготуватись до контрольної роботи.
1
